4.6 Conditional probabilities in Venn diagrams

1. 维恩图中的受限样本空间

条件概率可通过维恩图的"受限样本空间"计算，即仅考虑给定事件已发生的区域。

核心思想：将样本空间限制为条件事件发生的区域，重新计算概率比例。

图形化表示：在维恩图中，条件概率是交集区域相对于条件事件总区域的比例。

2. 条件概率公式在维恩图中的应用

分子：目标事件与条件事件的交集概率（交集区域）

分母：条件事件的总概率（条件事件所有区域的概率和）

比值：交集区域相对于条件事件总区域的比例

3. 复合条件概率

对于复杂的条件表达式，需要逐步分解：

• 复合条件：\( P((A \cap B)|C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} \)
• 补集条件：\( P(A'|B) = \frac{P(A' \cap B)}{P(B)} \)
• 并集条件：\( P(A \cup B|C) = \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)} \)

4. 多事件维恩图的条件概率

在三事件维恩图中计算条件概率：

• 两事件交集：\( P(A \cap B|C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} \)
• 补集条件：需要计算不属于某些事件的区域
• 复合表达式：逐步分解复杂的逻辑表达式

1. 两事件维恩图技巧

区域计算：

• 仅A：\( P(A) - P(A \cap B) \)
• 仅B：\( P(B) - P(A \cap B) \)
• A∩B：已知
• 既不：\( 1 - P(A \cup B) \)

条件概率：

• \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
• \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)

2. 三事件维恩图技巧

区域计算：

• 计算两两交集：\( P(A \cap B) = P(A \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C') \)
• 计算边缘概率：\( P(A) = 仅A + A∩B + A∩C - A∩B∩C \)
• 注意三重交集的重复计算

复杂条件：

• 逐步分解复合条件表达式
• 先计算分子（交集），再计算分母（条件事件）

3. 补集条件概率技巧

计算方法：

• 补集条件概率 = 1 - 原条件概率
• 或者直接计算补集交集区域
• 注意条件事件区域的正确识别

常见模式：

• \( P(A'|B) = 1 - P(A|B) \)
• \( P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) \)

4. 复合条件表达式技巧

分解策略：

• 将复合条件分解为基本集合运算
• 逐步计算每个部分的概率
• 组合得到最终结果

常见模式：

• \( P((A \cap B)|C) \)
• \( P(A|(B \cup C)) \)
• \( P((A' \cup B')|C) \)

维恩图条件概率的关键要点

1. 图形理解：深刻理解维恩图各区域代表的含义

2. 区域计算：准确计算各复合区域的概率

3. 公式应用：熟练运用条件概率的基本公式

4. 复合分解：学会分解复杂的条件表达式

5. 验证检查：确保所有概率计算的合理性和一致性